מבוא לתבניות ריבועיות עוזי וישנה

מבוא לתבניות ריבועיות עוזי וישנה 16 בנובמבר 2014

מבוא לתבניות ריבועיות מהדורה 1.57 הקדמה. לתורה של תבניות ריבועיות יש היבטים אלגבריים, אריתמטיים וגאומטריים. נציג כמה מהמשפטים היפים של התאוריה הזו על קצה המזלג. ידע מוקדם נדרש: בדרך כלל די בהבנה טובה של אלגברה לינארית ובמושגי יסוד מתורת החוגים. לפרקים יש צורך בידע מתקדם יותר מתורת השדות, מאלגברה (למשל מכפלה טנזורית), הכרת חבורות קוהומולוגיה, או יסודות תורת המספרים האלגברית. על הפרקים הדורשים ידע מתקדם אפשר לדלג בדרך כלל ללא פגיעה בנושאים המוצגים מאוחר יותר. החומר מבוסס ברובו על כמה מקורות: [14], [7], [10], [4], [2], ובעיקר המבוא המצוין [9]. עוזי וישנה, 8.2014 2

תוכן עניינים 1 מרחבים ריבועיים 7 1.1 תבניות ריבועיות.................................. 7 1.1.1 מרחב ריבועי................................ 7 1.1.2 הצגה באמצעות מטריצות.......................... 8 1.2 הצורה האלכסונית................................. 8 1.3 אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי........................... 9 1.4 תבניות רגולריות ולא רגולריות........................... 9 1.4.1 מרחבים לא רגולריים............................ 10 1.5 הכללות....................................... 11 1.5.1 מאפיין. 2................................. 11 1.5.2 תבניות הרמיטיות מעל אלגברה פשוטה................... 11 1.5.3 תבניות לא סימטריות............................ 11 1.5.4 תבניות מעל חוגים קומוטטיביים...................... 11 1.5.5 כיוונים נוספים............................... 11 13 המבנה של תבניות ריבועיות 2 13................................. תבניות היפרבוליות 2.1 14............................... המרכיב האנאיזוטרופי 2.2 14................................. איזומטריות 2.2.1 16........................... משפט הצמצום של ויט 2.2.2 16....................................... חוג ויט 2.3 16............................. שקילות של תבניות 2.3.1 17............................. פעולות בין תבניות 2.3.2 17................................... חוג ויט 2.3.3 18 האידיאל היסודי............................... 2.3.4 19............................. תבניות תחת הרחבת שדות 2.4 19.............................. העתקת הצמצום 2.4.1 19.............................. הרחבות ריבועיות 2.4.2 20.................................. הטרנספר 2.4.3 22........................... הרחבות מממד אי זוגי 2.4.4 23............................... משפט שפרינגר 2.4.5 24..................................... גורמי דמיון 2.5 3 האינווריאנטים הראשונים 25 3.1 זוגיות הממד..................................... 25 3.2 הדטרמיננטה.................................... 25 3.3 הדיסקרימיננטה................................... 26 3.3.1 תבניות בינאריות.............................. 27 3

תוכן עניינים תוכן עניינים 28 יוצרים ויחסים לחוג ויט........................... 3.3.2 29 אלגברות קליפורד.................................. 3.4 29......................... אלגברות פשוטות מרכזיות 3.4.1 30............................... חבורת בראוור 3.4.2 30................................. אינוולוציות 3.4.3 31................................. קווטרניונים 3.4.4 32........................ אלגברת קליפורד של תבנית 3.4.5 33.......................... חישוב אלגברת קליפורד 3.4.6 35....................... אלגברת קליפורד כאינווריאנט 3.4.7 36..................... חבורת הספין והנורמה הספינורית 3.4.8 4 האינווריאנטים הגבוהים 39 4.1 תורת K של חוגים................................. 39 4.1.1 מודולים פרוייקטיביים ו. K 0........................ 39 4.1.2 מטריצות לא אלמנטריות ו. K 1...................... 39 4.1.3 יחסים אלמנטריים ו. K 2......................... 40 4.2 חבורות K של מילנור................................ 41 4.2.1 העתקת השארית.............................. 42 4.3 השערת מילנור................................... 43 4.4 השערת מילנור ל 2 = n.............................. 45 49 סדר ותבניות 5 49.................................... שדות סדורים 5.1 49............................ שדות ניתנים לסידור 5.1.1 50................................... סימן סילבסטר 5.2 51 שדות פיתגוריים................................... 5.3 52 מרחב הסידורים של שדה.............................. 5.4 53................................... הסימן הגלובלי 5.5 53......................... חוג ויט של שדה לא ממשי 5.5.1 54.......................... חוג ויט של שדה אוקלידי 5.5.2 54......................... הגרעין של הסימן הגלובלי 5.5.3 55 הקו גרעין של הסימן הגלובלי........................ 5.5.4 57 תבניות פיסטר 6 57.................................. נוסחאות מכפלה 6.1 59.................................. ערכים של תבנית 6.2 59.............................. הצגות של תבניות פיסטר 6.3 61................................ המשפטים המרכזיים 6.4 61.................................... רמה של שדה 6.5 62 בוני פיתול...................................... 6.6 7 שיטות גנריות 63 7.1 ערכים פולינומיים של תבנית............................ 63 7.1.1 פרמטריזציה................................. 63 7.1.2 ערכים פולינומיים.............................. 64 7.1.3 סכום הריבועים הגנרי............................ 66 7.2 ערכים גנריים.................................... 66 7.3 שדה הפונקציות של תבנית............................. 68 7.3.1 התבנית מעל שדה הפונקציות של עצמה.................. 68 4

תוכן עניינים תוכן עניינים 7.3.2 התפצלות מעל שדה פונקציות........................ 68 7.4 מסנן החזקות של ) I(F............................... 70 71 אריתמטיקה של תבניות ריבועיות 8 71 תבניות מעל שדות סופיים.............................. 8.1 72 תבניות מעל שדות מקומיים............................. 8.2 72.............................. שדות עם הערכה 8.2.1 72 שדות שלמים ושדות מקומיים........................ 8.2.2 74 תבניות מעל חוג השלמים בשדה שלם.................... 8.2.3 76 חוג ויט של שדה שלם............................ 8.2.4 77......................... חוג ויט של שדות מקומיים 8.2.5 78 תבניות מעל שדות גלובליים............................. 8.3 80.............................. תבניות מעל חוגי דדקינד 8.4 80 חוגי דדקינד................................. 8.4.1 80.................................... הגנוס 8.4.2 81............................... הגנוס הספינורי 8.4.3 82.......................... סריגים מעל חוגי דדקינד 8.4.4 83.......................... תבניות וסריגים חופשיים 8.4.5 83 אינווריאנטים אריתמטיים.......................... 8.4.6 84 מודולריות.................................. 8.4.7 84............................. סריגים מקסימליים 8.4.8 9 מטלות לסוף הקורס 85 5

תוכן עניינים תוכן עניינים 6

פרק 1 מרחבים ריבועיים 1.1 תבניות ריבועיות 1.1.1 מרחב ריבועי יהי F שדה. הגדרה 1.1.1 מרחב ביליניארי מעל F הוא זוג סדור (b,v), שהרכיב הראשון שלו הוא מרחב וקטורי V מממד סופי מעל,F והשני הוא תבנית בילינארית.b : V V F אם b : V V F היא תבנית בילינארית, (x q(x) = b(x, נקראת התבנית הריבועית המושרית על ידי b, והזוג (q,v) נקרא מרחב ריבועי. במאפיין שונה מ 2, כל תבנית ריבועית מושרית על ידי תבנית בילינארית סימטרית (כלומר (x.(b(x, (y = b(y, תבנית זו היא יחידה, משום שאפשר לשחזר מ q באמצעות הנוסחה הפולרית b(x, y) = 1 (q(x + y) q(x) q(y)). 2 (במאפיין 2 לא כל תבנית ריבועית מושרית על ידי תבנית סימטרית; לדוגמא, q(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 אינה מושרית על ידי תבנית בילינארית סימטרית. יתרה מזו, יתכן ששתי תבניות בילינאריות סימטריות תשרנה את אותה תבנית ריבועית: למשל b((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 2 + x 2 y 1 ותבנית האפס שתיהן משרות את התבנית הריבועית = 0 ) 2.q(x 1, x זהו רק היבט אחד שבו התאוריה מסתבכת במאפיין 2.) המרחבים הריבועיים הם אובייקטים בקטגוריה, שהמורפיזמים שלה הם העתקות לינאריות V σ : V המקיימות.q σ = q מורפיזם כזה הוא איזומורפיזם אם σ הפיך (כהעתקה לינארית), ובמקרה זה q ו q קובעים זה את זה. האוטומורפיזמים של (q,v) הם ההעתקות הלינאריות ההפיכות.q השומרות על σ : V V אחת הבעיות הטבעיות של התאוריה היא למיין מרחבים ריבועיים (ותבניות) עד כדי איזומורפיזם. המבנים שנציג בהמשך מאפשרים לארגן את התבניות ולענות על השאלה הזו במידה רבה של פירוט. לשם הקיצור, אם (q,v) הוא מרחב ריבועי, לפעמים נתייחס ל V או ל q בתור מרחב ריבועי. בפרט, מגדירים את הממד של התבנית q להיות הממד של V. יש דוגמאות רבות למרחבים ריבועיים. בחקירת פונקציות ממשיות R, n R התנהגות הפונקציה בנקודה קריטית נקבעת על ידי התבנית הריבועית שמגדירה הנגזרת השניה. כך גם במשוואות דיפרנציאליות. אם R אלגברה מממד סופי מעל שדה F אז יש לה שיכון ) F) R, M n ופונקציית עקבה tr : R F המושרית על ידי השיכון הזה. לתבנית הריבועית ) 2 q(x) = tr(x יש קשר למבנה של האלגברה, ובמקרים מיוחדים היא אפילו קובעת אותו. 7

1.2. הצורה האלכסונית פרק 1. מרחבים ריבועיים 1.1.2 הצגה באמצעות מטריצות יהי V מרחב וקטורי מממד סופי, עם בסיס B. הבסיס מגדיר איזומורפיזם טבעי V F n לפי המעבר לווקטור קואורדינטות,. x [x] B ברוח זו, כל תבנית בילינארית b : V V F אפשר לייצג באמצעות מטריצה ) (F,A M n לפי הנוסחה.b(x, y) = [x] t B A[y] B אומרים ש A היא המטריצה המייצגת של b (ושל x) (q(x) = b(x, לפי הבסיס,B ומסמנים.[b] B = A התבנית b סימטרית אם ורק אם המטריצה המייצגת אותה היא סימטרית. כשמציגים וקטור כללי לפי קואורדינטות x = x 1 v 1 + + x n v n ו,y = y 1 v 1 + + y n v n התבנית היא,b(x, y) = a ij x i y j ואילו התבנית הריבועית המושרית על ידי b מקבלת צורה של פולינום ריבועי הומוגני ב n משתנים,.q(x) = a ij x i x j החופש בבחירת הבסיס מאפשר להציג את אותה תבנית בדרכים רבות; המעבר מבסיס לבסיס כמוהו כהפעלת החלפת משתנים לינארית (הפיכה) על המשתנים x. 1,..., x n כיצד משפיעה החלפת הבסיס? טענה 1.1.2 תהי B M = [I] B מטריצת המעבר בין הבסיסים B B, של.V אז [b] B = M t [b] B M. הוכחה. לכל.M[x] B = [x] B,x V כעת, לכל,x V b(x, y) = [x] B t [b] B [y] B = [x] B t (M t [b] B M)[y] B = [x] B t [b] B [y] B. בעקבות זאת, נאמר ששתי מטריצות ) (F A, A M n הן חופפות אם יש ) (F P GL n כך ש.A = P t A P זה כמובן יחס שקילות. מסקנה 1.1.3 שתי מטריצות מייצגות את אותה תבנית ריבועית, בבסיסים שונים, אם ורק אם הן חופפות. אם כך, בעיית המיון של תבניות ריבועיות (עד כדי איזומורפיזם) מעל מרחב וקטורי n ממדי שקולה לבעיה של מיון המטריצות הסימטריות בגודל n n עד כדי חפיפה. השאלה האם שתי תבניות הן איזומורפיות כמוה כשאלה האם שתי מטריצות הן חופפות. 1.2 הצורה האלכסונית משפט 1.2.1 מעל שדה ממאפיין שונה מ 2, כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית. במלים אחרות, כל תבנית ריבועית אפשר להציג בצורה אלכסונית. בעיה 1.2.2 כתוב הוכחה מלאה למשפט ההצגה האלכסונית, משפט 1.2.1. הריבועית,q(x 1,..., x n ) = α i x 2 i שהמטריצה המייצגת שלה היא המטריצה את התבנית הגדרה 1.2.3 α 1 0, מסמנים ב. α 1,..., α n.... האלכסונית. 0 α n בפרט, a מציין את התבנית q(x) = ax 2 על המרחב החד ממדי F. הבה נמיין את התבניות מממד 1: 8

מרחבים ריבועיים 1.3. אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי פרק 1. טענה 1.2.4 התבניות a ו a איזומורפיות אם ורק אם 2 F.aF 2 = a הוכחה. אכן, החלפת בסיס במרחב החד ממדי פירושה כפל של איבר הבסיס בסקלר שונה מאפס, כלומר מעבר לנציג אחר במחלקה של המנה 2 /F F.{0} תרגיל 1.2.5 תן דוגמא נגדית (מממד 2) למשפט 1.2.1 במאפיין 2. בעיה 1.2.6 הראה שבמאפיין 2, כל תבנית רגולרית איזומטרית לסכום של תבניות חד ממדיות ודו ממדיות. 1.3 אורתוגונליות וסכום אורתוגונלי תהי b תבנית בילינארית סימטרית. אומרים ששני תת מרחבים V 1, V 2 V הם אורתוגונליים זה לזה (ביחס ל b ), אם = 0 ) 2.b(V 1, V אם המרחבים V 1, V 2 אורתוגונליים זה לזה ו,V = V 1 V 2 אז אפשר לחשב את התבנית b מן הצמצום שלה b 1, v 2 ל V, 1, V 2 מכיוון ש (1.1) b(v 1 v 2, v 1 v 2) = b(v 1, v 1) + b(v 2, v 2) = b 1 (v 1, v 1) + b 2 (v 2, v 2); במקרה כזה אומרים ש ( b,v) הוא סכום אורתוגונלי (או סתם סכום ישר) של ) V1 V) 1, b ו ( V). 2, b V2 אם B 1 ו B 2 הם בסיסים של V 1, V 2 בהתאמה, אז B 1 B 2 הוא בסיס של,V = V 1 V 2 והמטריצה המייצגת של b = b 1 b 2 היא ( ) [b1 ] [b] B1 B 2 = [b 1 ] B1 [b 2 ] B2 = B1 0. 0 [b 2 ] B2 את הפירוק הפנימי הזה אפשר לחקות גם בדרך של בניה חיצונית. יהיו ) 1 V) 1, b ו ( V) 2, b 2 מרחבים ריבועיים; הסכום האורתוגונלי (החיצוני) שלהם מוגדר על המרחב V 1 V 2 לפי הנוסחה (b 1 b 2 )(v 1 v 2, v 1 v 2) = b 1 (v 1, v 1) + b 2 (v 2, v 2). בתוך המרחב החדש, V 1, V 2 הם תת מרחבים אורתוגונליים. לפעמים כותבים ישירות את הסכום של התבניות הריבועיות המתאימות: q q היא התבנית הריבועית על המרחב V V המוגדרת לפי.q q נקראת תת תבנית של q התבנית.(q q )(x, x ) = q(x) + q (x ) תורת ההצגות רומזת שעלינו ללמוד את תת המרחבים האי פריקים, כלומר אלו שאי אפשר לפרק אותם לסכום אורתוגונלי של תת מרחבים. אלא שלפי הסעיף הקודם, גישה זו אינה מוצלחת: במאפיין שונה מ 2, כל תבנית אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של תבניות חד ממדיות, והפירוק הזה רחוק מלהיות יחיד. 1.4 תבניות רגולריות ולא רגולריות נניח ש b תבנית בילינארית סימטרית. לכל תת מרחב U V מסמנים U = {x V : b(x, U) = 0}. לפי הסימון הזה, V 1, V 2 אורתוגונליים אם ורק אם V2 V 1 (אם ורק אם V1.(V 2 הרדיקל של המרחב V עצמו מוגדר כתת המרחב 0} = u).v = {x : u V, b(x, אם = 0 V, התבנית נקראת רגולרית. כאשר התבנית רגולרית, עובדות יסודיות באלגברה לינארית מראות שלכל תת מרחב.dim(U) + dim(u ) = dim(v ),U 9

1.4. תבניות רגולריות ולא רגולריות פרק 1. מרחבים ריבועיים תרגיל 1.4.1 תהי A מטריצה המייצגת את התבנית הסימטרית b. אז b רגולרית אם ורק אם.det(A) 0 תרגיל 1.4.2 נניח ש ;V = V 1 V 2 אז V רגולרי אם ורק אם V 1, V 2 רגולריים. הגדרה 1.4.3 אם יש פירוק U,V = U כותבים.U V טענה 1.4.4 נניח ש U V הוא תת מרחב רגולרי של מרחב רגולרי. אז U. V ("תת מרחב רגולרי של מרחב רגולרי הוא מחובר אורתוגונלי".) הוכחה. החיתוך U U הוא הרדיקל של U, השווה לאפס לפי ההנחה. לפי הרגולריות של V, נוסחת הממד נותנת U.V = U אבל המרחבים U U, אורתוגונליים, ולכן זה סכום אורתוגונלי. כעת נחזור על טענה 1.2.4, עבור תבניות רגולריות: טענה 1.4.5 התבניות הרגולריות החד ממדיות נמצאות בהתאמה חד חד ערכית ועל לחבורה 2 F/ F. מסקנה 1.4.6 מעל C (או כל שדה סגור ריבועית אחר), יש רק תבנית רגולרית חד ממדית אחת, 1. מעל R (או כל שדה סגור ממשית אחר), יש רק שתי תבניות רגולריות חד ממדיות: 1 ו 1. בעיה 1.4.7 הגדר וחקור רדיקל שמאלי ורדיקל ימני עבור תבנית בילינארית שאינה בהכרח סימטרית. 1.4.1 מרחבים לא רגולריים אם התבנית אינה רגולרית אז אפשר להגדיר על מרחב המנה V/V את התבנית המושרית b(v + V, v + V ) = b(v, v ); (V, b) = (V/V, b) (V, 0). זה מוגדר היטב, ומתקיים תרגיל 1.4.8 מרחב המנה V/V הוא רגולרי. תרגיל 1.4.9 אם 0 U V, = כאשר U רגולרי ו 0 מייצג מרחב וקטורי (מממד כלשהו) שהתבנית הריבועית עליו היא תבנית האפס, אז.V/V = U מסקנה 1.4.10 כל מרחב ריבועי מתפרק באופן יחיד לסכום אורתוגונלי של מרכיב רגולרי ומרכיב אפס. ( ) A 0 0 0 מסקנה 1.4.11 כל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה מהצורה ( ) ( ).A A אז A 0 0 0 A 0 0 0 כאשר A הפיכה. אם תרגיל 1.4.12 תהי b תבנית בילינארית על המרחב V, המיוצגת על ידי המטריצה A. אז ממד המרכיב הרגולרי V/V שווה לדרגה של A. 10

1.5. הכללות פרק 1. מרחבים ריבועיים 1.5 הכללות (הקורא המתחיל מוזמן לדלג על הסעיף הזה, שאינו מפורט כקודמיו.) 1.5.1 מאפיין 2 עד כאן הנחנו שמאפיין השדה שונה מ 2. כדי לכסות את המקרה הכללי, נתבונן שוב בקשר שבין תבנית בילינארית לתבנית הריבועית שהיא מגדירה. אומרים שתבנית b היא מתחלפת אם היא מקיימת = 0 (x.b(x, כל תבנית מתחלפת היא אנטי סימטרית, ובמאפיין שונה מ 2, המושגים מתלכדים. תבנית משרה את תבנית האפס אם ורק אם היא מתחלפת, ולכן המרחב של התבניות הריבועיות על מרחב נתון הוא מרחב כל התבניות הבילינאריות, מודולו מרחב התבניות המתחלפות. ביתר פירוט, נתבונן בהתאמה b b an כאשר x).b an (x, y) = b(x, y) b(y, הגרעין שלה n(n+1), והתמונה שלה מוכלת באוסף התבניות המתחלפות, 2 הוא מרחב התבניות הסימטריות, שממדו n(n 1). לפי השוואת ממדים, הוכחנו שיש סדרה מדוייקת קצרה 2 שממדו 0 Sym Bil Alt 0. במאפיין שונה מ 2, הסדרה הזו מתפצלת, ו Sym Alt.Bil = לעומת זאת במאפיין 2, Sym.Alt 1.5.2 תבניות הרמיטיות מעל אלגברה פשוטה עד כאן דיברנו על תבניות בילינאריות סימטריות מעל שדה. ההכללה המוכרת היא לתבניות הרמיטיות, מעל הרחבה ריבועית F/F 0 (ובפרט מעל ההרחבה.(C/R באופן כללי עוד יותר, תהי (σ,a) אלגברה פשוטה עם אינוולוציה (ראה סעיפים 3.4.1 ו 3.4.3 ); כלומר A פשוטה כאלגברה ומוגדרת עליה אינוולוציה, או ש A = B B op עם האינוולוציה x).(x, y) (y, מרחב ϵ הרמיטי מעל (σ,a) הוא זוג (h,m), כאשר M מודול (בהכרח חופשי) מעל A ו h : M M A היא תבנית ססקוי לינארית המקיימת y)).h(y, x) = ϵσ(h(x, התבנית נקראת הרמיטית אם = 1 ϵ, ואנטי הרמיטית אם 1 = ϵ. המקרה של תבנית בילינארית סימטרית מתקבל כאשר.A = F כל אלגברה פשוטה עם אינוולוציה היא מהצורה ) h (End D (V ), ad כאשר ad h היא האינוולוציה הצמודה ל h, שהיא תבנית ϵ הרמיטית על V מעל D. נניח ש A חוג עם חילוק. אז משפט 1.2.1 תקף עבור תבניות ϵ הרמיטיות מעל (σ,a), פרט למקרה (1 (id,,σ). (ϵ = היינו, בכל מקרה אחר, כל תבנית ϵ הרמיטית אפשר להביא לצורה.h(x, y) = σ(x i )a i y i על ההכללה של חוג ויט (שנגדיר מעל שדה בתת סעיף 2.3.3) עבור תבניות הרמיטיות, ראה הערה 2.3.14. 1.5.3 תבניות לא סימטריות ראה עבודת הדוקטורט של אוריה פירסט (בעקבות עבודות של Bayer,Scharlau ואחרים). 1.5.4 תבניות מעל חוגים קומוטטיביים זה נושא עשיר באלגברה ובאריתמטיקה של חוגים. ראה רמזים בכיוון בפרק 8, והערה 8.3.8. 1.5.5 כיוונים נוספים אתגר 1.5.1 הצע תורת מבנה לתבניות טרילינאריות וכדומה. אתגר 1.5.2 הצע תורת מבנה לתבניות מממד אינסופי מעל שדה. אתגר 1.5.3 הצע תורת מבנה למרחבים בילינאריים שהם מרחבי בנך מעל שדה עם הערכה. 11

פרק 1. מרחבים ריבועיים 1.5. הכללות אתגר 1.5.4 הצע תורת מבנה לזוגות של תבניות מעל שדה. (הוכח שאם לתבניות המייוצגות על ידי המטריצות,A B יש בסיס שבו שתיהן אלכסוניות, אז 1 AB לכסינה במובן הרגיל. האם הכיוון ההפוך נכון?) 12

פרק 2 המבנה של תבניות ריבועיות לאור מסקנה 1.4.10, די לנו לעסוק מעתה בתבניות רגולריות. 2.1 תבניות היפרבוליות תהי b תבנית ריבועית על מרחב V. וקטור v V נקרא איזוטרופי אם הוא מקיים = 0 (v.b(v, תת מרחב U V הוא איזוטרופי אם = 0 (U.b(U, תת מרחב הוא איזוטרופי אם ורק אם הוא אורתוגונלי לעצמו. תרגיל 2.1.1 במאפיין שונה מ 2, U איזוטרופי אם ורק אם כל הווקטורים ב U איזוטרופיים. אם אין במרחב אף וקטור איזוטרופי, הוא נקרא מרחב אנאיזוטרופי. הגדרה 2.1.2 המרחב הריבועי הדו ממדי 1,1 נקרא המישור ההיפרבולי, ומסמנים אותו ב H. סכום ישר של עותקים של המישור הזה, כלומר מרחב עם תבנית ריבועית אלכסונית 1,...,1,1,...,1 עם סימנים מאוזנים, נקרא מרחב היפרבולי (ומסמנים אותו ב H, m כאשר m הוא חצי הממד). תרגיל 2.1.3 הוכח שהתבניות הריבועיות q(x, y) = x 2 y 2 ו xy q (x, y) = איזומורפיות זו לזו (מאפיין שונה מ 2 ). טענה 2.1.4 יש רק מרחב ריבועי רגולרי איזוטרופי אחד מממד 2, והוא המישור ההיפרבולי. ( ) ab כאשר 0, a 0 0 b הוכחה. אחרי המעבר לבסיס אלכסוני, המטריצה המייצגת של התבנית היא מהצורה בגלל הרגולריות. לפי ההנחה יש (u, v) F 2 0) (0, כך ש 0 = 2.au 2 + bv בפרט 0 v.u, לכן (v,u),(v,u) מהווה בסיס, שביחס אליו התבנית היא q((u, v)x + (u, v)y) = au 2 (x + y) 2 + bv 2 (x y) 2 = 2(au 2 bv 2 )xy, והתבנית הזו איזומורפית ל xy q,x) (y = ולכן ל 1,1. טענה 2.1.5 הממד של תת מרחב איזוטרופי של מרחב רגולרי מממד n הוא לכל היותר. 1 2n הוכחה. נניח ש U מרחב איזוטרופי מממד m. נבחר בסיס של U ונשלים אותו לבסיס של V. בהצגת התבנית לפי הבסיס הזה, למטריצה המייצגת יש בלוק בגודל m m שכולו אפס. מכיוון שהדטרמיננטה של התבנית אינה אפס, יש אלכסון מוכלל שלארכו המכפלה אינה אפס; אבל בחישוב אלכסון מוכלל, בכל שורה מ m השורות הראשונות נבחרת עמודה מבין ה m n האחרונות, כלומר.m n m 13

2.2. המרכיב האנאיזוטרופי פרק 2. המבנה של תבניות ריבועיות טענה 2.1.6 יהי V מרחב ריבועי רגולרי מממד n עם תת מרחב איזוטרופי U, מממד m. = 1 2n אז V הוא מרחב היפרבולי. הוכחה. אם = 0 m אין מה להוכיח. יהי U תת מרחב איזוטרופי מממד m. נבחר u, U ונתבונן במרחב המנה ;u /F u ממדו 2,2m והוא מכיל את תת המרחב האיזוטרופי.U/F u לפי הנחת האינדוקציה, U/F u היפרבולי, ולכן יש לו בסיס 2m 2 v 1,..., v כך ש 0 = ) j (v i, v ל j i ו ±1 = ) i.(v i, v יהי u,w כך,w = w (w,v j ) ש ( w.v = F v i (F u + F ברור ש 0 = ) i (u, v לכל.i נחליף את w ב i (v j,v j ) v ) j.(w, v j ) = (w, v j ) (w,v כעת ) w,v = ( F v i ) (F u + F שהוא סכום ואז = 0 ) j i (v j,v j ) (v i, v אורתוגונלי של מרחב היפרבולי מממד 2 n והמישור ההיפרבולי w.f u + F משפט 2.1.7 יהי V מרחב ריבועי רגולרי מממד n, עם תת מרחב איזוטרופי U מממד m. אז H m V (ראה הגדרה 1.4.3). הוכחה. נבחר בסיס של U, נשלים אותו לבסיס של U, ואת זה נשלים לבסיס של V. בבסיס הזה, המטריצה 0 0 A [b], = כאשר הבלוקים מחולקים לפי הפירוק 0 B X המייצגת של התבנית היא מטריצת בלוקים A t X t C 1 0 0 P = D, ונחשב: 1.m + (n 2m) + m = n נבחר 0 P 0 0 1 1 0 0 0 0 A 1 D t 0 0 0 A P [b] P t = D 1 0 0 B X 0 1 0 = 0 B DA + X 0 0 1 A t X t C 0 0 1 A t A t D t + X t C לפי הרגולריות A מוכרחה להיות הפיכה, ) ואם נבחר ( 1 XA D = הרי זה כאילו דאגנו ש 0 = X. אבל [b], = 0 A כשהמרכיב הראשון, מממד 2m, מכיל תת מרחב A t C אז המטריצה מתפרקת לסכום ישר (B) איזוטרופי מממד m. לפי טענה 2.1.6, המרכיב הראשון הזה היפרבולי, כלומר איזומורפי ל H. m זה מוכיח את הטענה לפי מסקנה 1.1. מסקנה 2.1.8 למרחב רגולרי יש וקטור איזוטרופי אם ורק אם הוא מכיל תת מרחב היפרבולי. 2.2 המרכיב האנאיזוטרופי 2.2.1 איזומטריות יהי (q,v) מרחב ריבועי מעל שדה F כלשהו (מאפיין שונה מ 2 ). חבורת האיזומטריות של המרחב היא O(V, q) = {T : V V : q(t x) = q(x)}, וזו כמובן תת חבורה של ).GL(V נקבע מטריצה מייצגת A של q; אפשר לזהות את (q O(V, עם חבורת המטריצות ) (F { T : T AT t = A } GL n כאשר ) dim(v.n = מן השוויון T AT t = A יוצא ש ±1 = ).det(t מסמנים O + (V, q) = {T O(V, q) : det(t ) = 1}.. 14

המבנה של תבניות ריבועיות 2.2. המרכיב האנאיזוטרופי פרק 2. למה 2.2.1 יהי (q,v) מרחב ריבועי עם v V כך ש 0.q(v) נסמן ב b את התבנית הבילינארית הסימטרית המתאימה ל q. אז ההעתקה b(x, v) (2.1) τ v (x) = x 2 b(v, v) v היא איזומטריה מסדר 2, המייצבת את v ומעבירה v ל v. העתקה זו נקראת השיקוף ביחס ל v. b(x, v) q(τ(x)) = q(x v) q(v) b(x, v) b(x, v) = b(x 2 v, x 2 v) q(v) q(v) = b(x, x) 4 b(x, v) q(v) הוכחה. ראשית נראה שזו איזומטריה: v)2 b(x, v) + 4b(x, q(v) 2 q(v) = q(x). ברור שהיא מייצבת כל וקטור המאונך ל v, ומעבירה את v ל v ; מכאן שהיא מסדר 2. למה 2.2.2 נניח ש 2.charF יהי q) (V, מרחב ריבועי ויהיו v, v V וקטורים אנאיזוטרופיים שווי אורך, היינו 0 ) q(v.q(v) = אז יש איזומטריה המעבירה v v; האיזומטריה היא שיקוף או מכפלת שני שיקופים. הוכחה. נסמן ב b q את התבנית הביליניארית המתאימה ל q. לפי ההנחה v v + v, v מאונכים זה לזה כי τ v v (v v ) = v v אז.q(v v ) ראשית נניח ש 0.b q (v+v, v v ) = b q (v, v) b q (v, v ) = 0 ו v,τ v v (v + v ) = v + ולכן τ v v (v) = 1 2 τ v v ((v + v ) + (v v )) = 1 2 ((v + v ) (v v )) = v. מאידך אם = 0 ) v,q(v אז 0 4q(v) q(v + v ) = 2(q(v) + q(v )) q(v v ) = לפי שוויון המקבילית. לפי המקרה הקודם v,τ v+v (v) = ולכן v.τ v τ v+v (v) = משפט 2.2.3 יהי (q,v) מרחב ריבועי רגולרי. כל איזומטריה σ : V V היא מכפלה של שיקופים. הוכחה. באינדוקציה על הממד. אם = 1 V dim האיזומטריה הלא טריוויאלית היחידה היא שיקוף. נניח ש > 1 n,dim V = ותהי σ איזומטריה של.V נבחר וקטור אנאיזוטרופי,v V אז σ(v) v, הם וקטורים מאותו אורך, ולפי למה 2.2.2 יש איזומטריה τ, שהיא שיקוף או מכפלת שני שיקופים, כך ש ( σ(v ;τ(v) = היינו τ 1 σ שומר על v, ומכאן ש σ τ 1 היא איזומטריה של v. לפי הנחת האינדוקציה τ 1 σ היא מכפלת שיקופים שם, ולכן גם σ כזו. (ההוכחה מראה שכל איזומטריה היא מכפלה של לכל היותר 1 2n שיקופים, כאשר n. = dim V למעשה כל איזומטריה היא מכפלה של עד n שיקופים; [2.8 Ex.,2].) 15

2.3. חוג ויט פרק 2. המבנה של תבניות ריבועיות 2.2.2 משפט הצמצום של ויט מסקנה 2.1.8 מאפשרת לקלף מהמרחב הריבועי תת מרחבים היפרבוליים, כל עוד יש לו וקטורים איזוטרופיים. כדי שהגישה הזו תהיה אפקטיבית, עלינו לדעת שכל הדרכים לבצע קילוף כזה מביאות לאותה תוצאה. משפט 2.2.4 (משפט הצמצום של ויט ((Witt) במאפיין שונה מ 2, אם V,V V = V אז.V = V הוכחה. מכיוון שאפשר להביא את V לצורה אלכסונית, די להוכיח את הטענה במקרה שבו V הוא מרחב חד ממדי, עם התבנית a. לפי מסקנה 1.4.10 אפשר להניח ש 0 a. נתבונן איפה במרחב (q,w) שיש בו שני וקטורים,,W = F v v = F v v אפשר לפרק את המרחב בשתי דרכים:.q(v) = q(v ) = a עם,v, v ועלינו להוכיח ש v.v = לפי למה 2.2.2 יש איזומטריה σ כך ש v,σ(v) = ואז σ מהווה איזומטריה בין המשלימים האורתוגונליים. ( ) תרגיל 2.2.5 (משפט הצמצום של ויט נכשל במאפיין 2). 0 1 במאפיין,2 1 0 נסמן ב O את המרחב הדו ממדי עם התבנית הבילינארית הרגולרית O 1 = 1 1, 1, למרות ש O = 1 1, (הבחן כי התבנית הריבועית המושרית על O היא תבנית האפס). מסקנה 2.2.6 במאפיין שונה מ 2 : 1. כל תבנית ריבועית אפשר לפרק באופן יחיד כסכום אורתוגונלי של תבנית האפס, תבנית היפרבולית ותבנית אנאיזוטרופית. 2. כל תבנית ריבועית רגולרית אפשר לפרק באופן יחיד כסכום של תבנית היפרבולית ותבנית אנאיזוטרופית. הגדרה 2.2.7 תהי q תבנית ריבועית. נניח שהיא מתפרקת,q = H r q 0 כאשר q 0 אנאיזוטרופית. התבנית q 0 היא המרכיב האנאיזוטרופי של q, והערך r נקרא אינדקס ויט של q. כמובן, לתבניות איזומטריות יש אותו אינדקס ויט. 2.3 חוג ויט 2.3.1 שקילות של תבניות לאור מסקנה 2.2.6, טבעי ללמוד את אוסף התבניות האנאיזוטרופיות. הבעיה היא שסכום אורתוגונלי של תבניות אנאיזוטרופיות עשוי להיות איזוטרופי. הרעיון היסודי של ויט היה להפוך את H למרכיב טריוויאלי, ולזהות את כל התבניות מהצורה q H m זו עם זו. ביתר דיוק: הגדרה 2.3.1 שתי תבניות רגולריות הן שקולות במובן של ויט, אם יש להן אותו מרכיב אנאיזוטרופי. במלים אחרות, אם q 0 תבנית אנאיזוטרופית, מחלקת השקילות שלה כוללת את כל התבניות q. 0 H m בתוך מחלקת שקילות ידועה, הממד קובע את אינדקס ויט ולהיפך. מסקנה 2.3.2 תבנית ריבועית רגולרית נקבעת על ידי המרכיב האנאיזוטרופי שלה (או מחלקת השקילות) והממד (או אינדקס ויט). את המחלקה של התבנית q מסמנים ב [ q ]. במחלקה [0] נמצאות התבניות ההיפרבוליות, ורק הן. 16

המבנה של תבניות ריבועיות 2.3. חוג ויט פרק 2. 2.3.2 פעולות בין תבניות יש שתי פעולות טבעיות שאפשר להגדיר בין תבניות ריבועיות. הסכום (של ( מרחבים ריבועיים הוגדר בסעיף 1.4. אפשר לחשב אותו כסכום ישר של המטריצות,A B = A 0 וגם לפי הנוסחה: 0 B המייצגות, תרגיל 2.3.3 m. a 1,..., a n b 1,..., b m = a 1,..., a n, b 1,..., b המכפלה הטנזורית של תבניות בילינאריות מוגדרת בדרך דומה: (V, b) (V, b ) = (V V, b b ), כאשר ) y.(b b )(x x, y y ) = b(x, y)b (x, בפרט, עבור תבניות ריבועיות חד ממדיות, aa, a a = ומזה אפשר להוציא את הנוסחה הכללית: תרגיל 2.3.4 m. a 1,..., a n b 1,..., b m = a 1 b 1 a n b A A היא מטריצה אז q,q. תרגיל 2.3.5 נניח ש A,A הן מטריצות מייצגות של התבניות מייצגת של התבנית.q q 2.3.3 חוג ויט הגדרה 2.3.6 חיבור וכפל של מחלקות: ] q.[q] [q ] = [q q ] ;[q] + [q ] = [q תרגיל 2.3.7 לכל תבנית q, התבנית H q היא היפרבולית. הדרכה. לכל F a,. 1, 1 a = a, a = 1, 1 תרגיל 2.3.8 פעולות החיבור והכפל של מחלקות מוגדרות היטב. לפעמים נשמיט את סימן המחלקה, ונחבר תבניות ישירות, כלומר נכתוב q q + במקום q q. בדומה לזה נכתוב לפעמים q q במקום.q q בפרט, עבור תבניות חד ממדיות, ab. a b = 1. פעולות החיבור והכפל הן קומוטטיביות ואסוציאטיביות; תרגיל 2.3.9 2. הכפל דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור; 3. התבנית 0 (על המרחב האפס ממדי) היא איבר אפס ביחס לחיבור, ;(a לכל a, a = ש H (משום ( q)(x) = q(x) כאשר,[q] הוא הנגדי של [ q].4 5. התבנית 1 (על המרחב החד ממדי) היא איבר יחידה ביחס לכפל. כעת אפשר להגדיר את אחד האובייקטים המרכזיים של התאוריה: הגדרה 2.3.10 חוג ויט הוא החוג של מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות (מממד סופי) מעל השדה F, עם פעולות החיבור והכפל שהוגדרו לעיל. מסמנים אותו ב ( W. F) נחשב כמה דוגמאות. ראשית, כפי שראינו בסעיף 1.2 (במאפיין שונה מ 2 ), כל תבנית אפשר להציג כסכום אורתוגונלי של תבניות מממד 1. מסקנה 2.3.11 כחבורה אדיטיבית, ) (F W נוצר על ידי התבניות מהצורה, a.a 0 יתרה מזו, התבניות הרגולריות a ו a איזומורפיות אם ורק אם הן מייצגות אותה מחלקה ב 2 /F F (טענה.(1.4.5 17

2.3. חוג ויט פרק 2. המבנה של תבניות ריבועיות דוגמא 2.3.12 לפי מסקנה 1.4.6, יש רק מחלקה אחת מממד אחד מעל C, והיא 1. מכיוון ש.W (C) = 1, = 1 1, = 1, 1 נובע ש Z/2Z 1 = H תרגיל 2.3.13 מעל הממשיים יש שתי תבניות חד ממדיות, 1 ו 1, כלומר 1,1 של חוג ויט. התבניות 1,...,1 אינן איזוטרופיות, ולכן כל אחת מהן מהווה מחלקה לעצמה, ו Z W. (R) = הערך של התבנית 1,... 1, 1,,... 1, בחוג ויט הוא סכום הסימנים; העובדה שהוא אינו תלוי בהצגת התבנית היא משפט הסימנים של סילווסטר (שנובע, משום כך, ממשפט הצמצום של ויט). הכללות הערה 2.3.14 הערה זו ממשיכה את תת סעיף 1.5.2. משפט הצמצום של ויט עובד מעל כל (σ,a), וכך אפשר להגדיר את חוג ויט (σ W ϵ,a) של המחלקות של תבניות ϵ הרמיטיות; אם = 1 ϵ, כותבים סתם.W (A, σ) ידוע שאם t),(a, σ) = (M n (F ), אז ) (F W (A, σ) = W ו 0 = σ).w 1 (A, אם σ אינוולוציה מסוג ראשון ו A מממד זוגי, אז (τ W 1,A) (σ = W,A) כאשר τ מהטיפוס המנוגד ל σ. אם σ מסוג שני אז σ).[1] W 1 (A, σ) = W (A, לדוגמא, אם R שדה סגור ממשית, אז ;W (R) = Z אם 1] R[ C = ו,H = ( 1, 1) R אז גם.W (C, ) = W (H, ) = Z 2.3.4 האידיאל היסודי מכיוון שאיבר היחידה של חוג ויט הוא 1, מסמנים לפעמים את התבנית הזו ב 1. כמובן, האיבר 1 1, = 1 1 = 1 = 1 +,2 בעוד שהתבנית 2 מייצגת איבר אחר לגמרי. האידיאל היסודי של חוג ויט הוא האידיאל ) I(F של התבניות מממד זוגי. טענה 2.3.15 כחבורה אדיטיבית, ) I(F נוצר על ידי התבניות מהצורה a a. =,1 הוכחה. מספיק לכתוב b. a, b 1, a + 1, b 1, a 1, b = a W (F ) I(F ) I 2 (F ) I 3 (F ) לשרשרת האידיאלים חשיבות גדולה בתורת התבניות הריבועיות. משפטים משנות השמונים והתשעים יודעים לקשר את המנות ) F) I n F) I/( 1+n לחבורות קוהומולוגיה ולחבורות K, שהן אובייקטים חשובים ביותר באריתמטיקה של שדות (ראו פרק 4). a 1,..., a n = a 1 a n הגדרה 2.3.16 התבניות מממד 2 n מהצורה = 1, a 1,..., a n, a 1 a 2,..., a n 1 a n,..., ( 1) n a 1 a n נקראות תבניות פיסטר (Pfister) מסדר n. לתבניות פיסטר יש תכונות יפות שנפגוש בהמשך החוברת (פרק 6). מסקנה 2.3.17 כחבורה אדיטיבית, ) F) I n נוצר על ידי תבניות פיסטר מסדר n. 18

המבנה של תבניות ריבועיות 2.4. תבניות תחת הרחבת שדות פרק 2. 2.4 תבניות תחת הרחבת שדות 2.4.1 העתקת הצמצום יהי F K שיכון של שדות. אפשר לראות כל תבנית q מעל F כאילו היא תבנית מעל K, שאותה מסמנים ב q. K ביתר דיוק, הצמצום של המרחב הריבועי (q,v) מ F ל K מוגדר כ res K/F (V, q) = (K V, q K ), כאשר התבנית הבילינארית המתאימה ל q K מוגדרת לפי ) v.b K (a v, a v ) = aa b(v, בפרט, dim(q K ) = dim(q). הפונקציה ] K [q] [q היא הומומורפיזם של חוגים (K).res K/F : W (F ) W באופן הזה ) F) F W הוא פונקטור מקטגוריית השדות לקטגוריית החוגים הקומוטטיביים. הנה דוגמא שתשמש אותנו בפרק 7. q K אם q אנאיזוטרופית מעל F אז גם טענה 2.4.1 נניח ש K/F הרחבה טרנסצנדנטית טהורה. אנאיזוטרופית. בפרט, הצמצום (K) res K/F : W (F ) W הוא חד חד ערכי. הוכחה. נניח ש q K איזוטרופית. נבחר קבוצת יוצרים טרנסצנדנטית להרחבה.K/F אפשר להחליף את K בשדה K הנוצר על ידי כל היוצרים המשתתפים בנקודה המאפסת את q, כך ש ( trdeg(k F/ סופי, ולפעול באינדוקציה על מספר המשתנים. מספיק, אם כך, להניח ש ( λ ).K = F אם = 0 (λ)),q(f 1 (λ),..., f n אפשר להניח על ידי כפל במכנה משותף ש [ λ ] f 1,..., f n F ושהם זרים במשותף. לכן אפשר להציב 0 λ ולקבל נקודה מעל F המאפסת את,q כך ש q איזוטרופית. לאור טענה 2.4.1, ומכיוון שבכל הרחבה של שדות יש הרחבת ביניים טרנסצנדנטית שהמרכיב מעליה אלגברי, עיקר העניין בהעתקת הצמצום הוא כאשר ההרחבה אלגברית. 2.4.2 הרחבות ריבועיות בסעיף הזה ננתח את העתקת הצמצום במקרה שבו K/F הרחבה ריבועית. נכתוב [δ] K, = F כאשר = 2 δ. הסוגיה העיקרית במעבר לשדה הרחבה היא לתאר אלו תבניות אנאיזוטרופיות נעשות איזוטרופיות או אפילו היפרבוליות. במקרה של הרחבה ריבועית יש לשאלה הזו תשובה מלאה. דוגמא 2.4.2 תהי K = F [δ]/f הרחבה מממד 2 במאפיין שונה מ 2. הנורמה בהרחבה הזו היא.N(x + yδ) = x 2 y 2 כלומר, בבסיס δ} {1, של [δ],f תבנית הנורמה של ההרחבה היא תבנית אלכסונית עם ההצגה =. 1, מכיוון ש K הוא שדה לפי ההנחה, אינו ריבוע ב F, ולכן תבנית הנורמה מוכרחה להיות אנאיזוטרופית מעל F. מאידך התבנית נעשית איזוטרופית מעל K, שהרי = 0 2 δ, ולכן. Ker(res K/F ) היפרבולית (טענה.(2.1.4 כלומר, K התבנית משפט 2.4.3 תהי K/F הרחבה ריבועית כלעיל, ותהי q תבנית אנאיזוטרופית מעל F. 1. K q איזוטרופית אם ורק אם יש ל q תת תבנית שהיא כפולה סקלרית של..q = q ניתנת לפירוק בצורה q כלומר,q W (F ) היא היפרבולית אם ורק אם q K.2 19

2.4. תבניות תחת הרחבת שדות פרק 2. המבנה של תבניות ריבועיות. K הוכחה. בשני המקרים כיוון אחד טריוויאלי, משום ש = HK.1 נכתוב n,q = a 1,..., a ונניח ש q K איזוטרופית. לכן יש,x i + y i δ K לא כולם אפס, כך ש δ a i (x i + δy i ) 2 = ( a i x 2 i + a i yi 2) + 2 a i x i y i =.0 נסמן ב b q את התבנית הבינלינארית המתאימה ל q, ונכתוב ) n x = (x 1,..., x ו (.y = (y 1,..., y n לפי השוואת המקדמים, q שהרי,q(x), q(y) מהשוויון האחרון נובע ש 0.q(x) + q(y) = ו 0 b q (x, y) = 0 אנאיזוטרופית. נתבונן בתת המרחב F x + F y של F: n צמצום q לתת המרחב הזה נותן את התבנית הדו ממדית 1, q(y), q(x), q(y) = ולפי טענה 1.4.4 נובע מזה ש ( q(y היא תת תבנית של q. 2. נניח ש q K היפרבולית. הפעלה חוזרת של הסעיף הראשון מראה שאפשר לפרק את q לסכום ישר של תבנית מהצורה i, c ולכן t.q = c 1,..., c ניסוח אחר לסעיף 2 של משפט 2.4.3: הגרעין של העתקת הצמצום שווה לחשוד המיידי: Ker(res K/F ) = W (F ); כלומר, יש סדרה מדוייקת (2.2) W (F ) W (F ) res K/F W (K) 2.4.3 הטרנספר שוב תהי K/F הרחבה. הצמצום מפרש תבנית מעל F כאילו היא מוגדרת מעל K. איך אפשר לפעול בכיוון ההפוך ולהעביר תבנית ריבועית מעל K לתבנית מעל F? הגדרה 2.4.4 יהיו F K שדות כלשהם, ותהי s : K F העתקה F לינארית (שאינה אפס). יהי V מרחב וקטורי מעל K, ותהי q : V K תבנית ריבועית. הטרנספר של המרחב הריבועי (q,v) הוא המרחב הריבועי.(s q)(x) = s(q(x)) כאשר,F מעל,(V, s q) התבנית מוגדרת על אותו מרחב וקטורי,V ולכן dim(q).dim(s q) = [K :F ] דוגמא 2.4.5 אם tr : K F היא העקבה, אז 1 tr,q = שהיא התבנית ) 2,x tr(x נקראת תבנית העקבה של ההרחבה. דוגמא 2.4.6 נחזור לדוגמא,2.4.2 שם ראינו שתבנית הנורמה של ההרחבה K = F [δ δ 2 = ]/F היא. העקבה מוגדרת לפי,tr(x + yδ) = 2x ולכן תבנית העקבה היא tr((x + yδ) 2 ) = tr(x 2 + y 2 + 2xyδ) = 2(x 2 + y 2 ), היינו. הערה 2.4.7 תבנית העקבה מוגדרת עבור כל אלגברה מעל F שיש לה פונקציית עקבה. הדוגמאות המוכרות הן כמובן מטריצות מכל ממד, ודרכן כל אלגברה פשוטה מעל F. אלגברה שמוגדרת עליה תבנית בילינארית המקיימת את האקסיומה bc) (ab, (c =,a) נקראת "אלגברת פרובניוס". תרגיל.s (q q ) = s q s q 2.4.8 20

המבנה של תבניות ריבועיות 2.4. תבניות תחת הרחבת שדות פרק 2. תרגיל 2.4.9 אם q q = מעל K אז q s q = s מעל.F q s s s q φ K φ ריבועית תבנית q תהיינה תבנית ו φ K מעל אז F. מעל ריבועית.s (q K φ K ) = s (q) F φ טענה 2.4.10 (תכונת ההיפוך של פרובניוס) הוכחה. נתונים המרחבים הריבועיים (q,v) ו ( φ,w). המרחבים שעליהם מוגדרות התבניות הם v (a w) כדי להראות שההתאמה.(V F W, s (q) F ו ( φ (V K (K W ), s (q K φ K )) av w היא איזומטריה, נסמן ב b q ו β φ את התבניות הבילינאריות המתאימות. כעת נחשב: (s (b q K β φk ))(v (a w), v (a w )) = s((b q K β φk )(v (a w), v (a w ))) = s(b q (v, v )β φ (a w, a w )) = s(b q (v, v )aa β φ (w, w )) = s(aa b q (v, v ))β φ (w, w ) = s(b q (av, a v ))β φ (w, w ) = (s (b q ) F β φ )(av w, a v w ) טענה 2.4.11 אם q תבנית היפרבולית מעל K, אז s q היפרבולית מעל F. הוכחה. לפי האדיטיביות, מספיק לחשב את: s (H K ) = s ( 1 H K ) = s ( 1 ) H (השתמשנו בהיפוך), וזו תבנית היפרבולית (מממד ] F: K]2) לפי תרגיל 2.3.7. מסקנה 2.4.12 תהי s : K F העתקה F לינארית. אז ) (F s : W (K) W מוגדרת היטב לפי הנוסחה q].s [q] = [s תכונת ההיפוך של פרובניוס נותנת כעת לכל (K) a W ו ( α, W F) (2.3) s (a res K/F α) = s (a) α אפשר לראות ב ( K ) W מודול (ימני) מעל ) (F W באמצעות הפעולה (α).(a, α) a res K/F מסקנה ) 2.4.13 (F s : W (K) W היא הומומורפיזם של מודולים מעל ) (F.W כעת נוכל להמשיך את הסדרה המדוייקת (2.2). משפט 2.4.14 תהי ] [ F K = הרחבה ריבועית ספרבילית של.F תהי s : K F העתקה לינארית המקיימת = 0 (1)s (יש אחת כזו, עד כפל בסקלר). אז (2.4) W (F ) W (F ) res K/F W (K) s W (F ) היא סדרה מדוייקת מדוייקת של מודולים מעל ) F) W. 21

2.4. תבניות תחת הרחבת שדות פרק 2. המבנה של תבניות ריבועיות הוכחה. בתת סעיף 2.4.2 הוכחנו שהסדרה מדוייקת ב ( W. F) תהי a תבנית מעל F, אז ( a ) res K/F היא התבנית החד ממדית מעל K, ו ( a ) q = s היא התבנית על K המוגדרת לפי q(x + y ) = s(a(x + y ) 2 ) = as(x 2 + y 2 + 2xy ) = 2as( )xy, וזו תבנית היפרבולית. לכן = 0 K/F.s res נוכיח שכל תבנית אנאיזוטרופית מעל K אפשר לפרק לחלק שהטרנספר שלו אנאיזוטרופי וחלק המושרה מ F. כלומר, כל מרחב ריבועי אנאיזוטרופי (φ,v) מעל K אפשר לפרק φ φ, = q K כאשר q היא תבנית מעל F, ו φ s אנאיזוטרופית. אכן, אם s φ אנאיזוטרופית, סיימנו. אחרת יש v V 0 כך ש 0 =,s(φ(v)) כלומר ;φ = b K לפי הנחת φ ואפשר לפרק,V הוא תת מרחב רגולרי של Kv אם כך.0 b = φ(v) F האינדוקציה את φ אפשר לפרק לחלק המושרה מ F וחלק שהטרנספר שלו אנאיזוטרופי, וכך מתקבל פירוק דומה של φ. כעת נניח ש φ תבנית אנאיזוטרופית מעל K, ו φ s היפרבולית. לפי הסעיף הראשון אפשר לפרק = φ φ q K כאשר φ s אנאיזוטרופי, אבל זו תת תבנית של התבנית ההיפרבולית,s φ כלומר = 0 φ ו.φ = q K res K/F W (K) המשפט השימושי הזה מתאר את התמונה של הצמצום (K) ;res : W F) W ( תבנית [q] (K) W מהווה צמצום של תבנית המוגדרת מעל F, אם ורק אם s q היפרבולית. כלומר, אם נכתוב,q(x) = q 1 (x) + q 2 (x)δ אז q מוגדרת מעל F אם ורק אם q 2 היפרבולית. 2.4.4 הרחבות מממד אי זוגי שימוש נוסף בטרנספר מוכיח תוצאה יפה על הרחבות מממד אי זוגי. טענה 2.4.15 לכל הרחבת שדות סופית K/F ולכל העתקת טרנספר s : K F 0, ההרכבה s res K/F : W (F ) W (F ) שווה לכפל ב ( 1 ) s. הוכחה. תהי q תבנית ריבועית מעל.F אז ( 1 ) q s (s res K/F )(q) = s (q K ) = s (q K 1 ) = לפי תכונת ההיפוך. טענה 2.4.16 תהי K/F הרחבה מממד איזוגי. אז הצמצום (K) W F) W ( הוא חד חד ערכי. הוכחה. אפשר להניח ש [ θ ] K = F (אם ההרחבה אינה ספרבילית, באינדוקציה על הממד). נסמן = 1 + 2m ] :F.[K נגדיר את העתקת הטרנספר s : K F לפי = 1 s(1) ו 0 = ) i s(x לכל.i = 1,..., 2m נראה ש 1 ( 1 ).s אכן, ביחס לתבנית ) 2,s ( 1 ) : a s(a אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי F K = F לכן.F הוא איזוטרופי מממד מחצית הממד של F x + + F x m ותת המרחב,(F x + + F x 2m ) היפרבולי, ו ( 1 (F,.(K, s ( 1 )) מזה נובע ש s res K/F הוא כפל ב 1 ( 1 ),s כלומר העתקת הזהות. זה מוכיח ש res K/F חד חד ערכי ואילו ) (F s : W (K) W על. טענה 2.4.16 אומרת שבהרחבה K/F מממד איזוגי, אם תבנית נעשית היפרבולית מעל K, אז היא היפרבולית מלכתחילה. בהמשך (משפט 2.4.18) נוכיח תוצאה חזקה בהרבה. 22

המבנה של תבניות ריבועיות 2.4. תבניות תחת הרחבת שדות פרק 2. 2.4.5 משפט שפרינגר טענה 2.4.17 (טיעון המונום העליון) תהי q תבנית אנאיזוטרופית מעל.F נניח ש g q(f 1,..., f t ) = כאשר [λ].f 1,..., f t, g F אז )} t.deg(g) = 2 max {deg(f 1 ),..., deg(f הוכחה. נסמן )} i m = max {deg(f ו ( deg(g.n = ברור ש 2m.n נסמן ב a 1,..., a t את המקדם של λ m ב,f 1,..., f n וב b את המקדם של λ 2m ב g. אז,q(a 1,..., a t ) = b ואם n < 2m אז = 0 b ובהכרח גם = 0 t.a 1 = = a משפט 2.4.18 (משפט שפרינגר) תהי K/F הרחבה מממד אי זוגי. לכל תבנית אנאיזוטרופית q מעל F, גם התבנית q K אנאיזוטרופית. הוכחה. נכתוב t.q = a 1,..., a ההוכחה היא באינדוקציה על הממד ] :F.m = [K באינדוקציה על מספר היוצרים, די להניח שההרחבה פשוטה. נכתוב [θ] K, = F ויהי [λ] p(λ) F הפולינום המינימלי של θ מעל.F בפרט.deg(p) = m נניח, בשלילה, שהתבנית q K איזוטרופית. אז יש אברים β 1,..., β t K כך ש 0 = t.a 1 β 2 1 + + a tβ 2 כל β i K אפשר להציג בצורה (θ) β i = f i כאשר [λ] f 1,..., f t F הם פולינומים ממעלה.deg(f i ) < m את השוויון הקודם אפשר להציג בצורה (2.5) a 1 f 1 (λ) 2 + + a t f t (λ) 2 0 (mod p(λ)). אם לפולינומים (λ) f 1,(λ)..., f t יש גורם משותף מעל F, אפשר לחלק בו והשוויון נשמר. לכן אפשר להניח שהם זרים (במשותף). לפי השוויון (2.5) אפשר לפרק את אגף שמאל, (2.6) a 1 f 1 (λ) 2 + + a t f t (λ) 2 = p(λ)h(λ), כאשר [λ] h(λ) F פולינום מדרגה 2 m.deg(h) מכיוון ש p ממעלה אי זוגית לפי ההנחה, והמעלה של אגף שמאל זוגית לפי טיעון המונום העליון, גם המעלה של h אי זוגית. נבחר גורם אי פריק p ממעלה אי זוגית של.h נתבונן בשדה (λ),k = F [λ]/ p שממדו מעל F הוא.deg(p ) < m נסמן ב ( λ ) θ = λ + p את השורש (λ) p, היוצר את ההרחבה K. F/ מכיוון שה f i זרים, לא יתכן שכולם מתחלקים ב p, ולכן הוקטור )) (θ (f 1 (θ ),..., f t אינו אפס. נציב θ λ = בשוויון (2.6) ונקבל a 1 f 1 (θ ) 2 + + a t f t (θ ) 2 = 0, כלומר, התבנית q איזוטרופית מעל K שממדו אי זוגי וקטן מ m, בסתירה להנחת האינדוקציה, אלא אם = 0 ) θ) f i לכל i; אבל גם זה בלתי אפשרי כי אז כל הפולינומים (λ) f i מתחלקים ב p. תרגיל 2.4.19 טענה 2.4.16 נובעת ממשפט.2.4.18 הדרכה. אם ) (F [q] W 0 אז q שקולה לתבנית אנאיזוטרופית, שנשארת כזו מעל K. תרגיל 2.4.20 בדוק שהוכחת משפט 2.4.18 תקפה גם בלי להניח ש q אלכסונית, ולכן היא נכונה גם במאפיין 2. תרגיל 2.4.21 תהי q תבנית אנאיזוטרופית מעל שדה F. יהי g(λ) ערך של התבנית מעל חוג הפולינומים [λ] F. הראה שהמעלה של כל גורם ראשוני של g(λ) היא זוגית. הדרכה. נניח ש (( λ ),g(λ) = q(f 1 (λ),..., f n ויהי p(λ) גורם אי פריק של.g(λ) נסמן ב α שורש של p בשדה ההרחבה [λ]/ p(λ).k = F אז = 0 g(α),q(f 1 (α),..., f n (α)) = ולכן q K איזוטרופית. משפט שפרינגר אינו מאפשר זאת אם ] F: deg(p(λ)) = K] אי זוגי. אתגר 2.4.22 האם יתכן שהעתקת הצמצום (K) W F) W ( היא חד חד ערכית, ובכל זאת קיימת תבנית אנאיזוטרופית q מעל F כך ש q K איזוטרופית? 23

2.5. גורמי דמיון פרק 2. המבנה של תבניות ריבועיות 2.5 גורמי דמיון חבורת המחלקות 2 /F F פועלת על התבניות הריבועיות לפי כפל בסקלר,.αF 2 : q α q תהי q תבנית מעל שדה F. נגדיר את חבורת גורמי הדמיון של q לפי G(q) = { t F : t q = q } F /F 2. כמייצב של q במרחב התבניות, זו בוודאי חבורה. הערה 2.5.1 מכיוון שכפל בתבנית חד ממדית שומר על הממד, יכולנו לכתוב גם בשפה של חוג ויט,.G([q]) = {t F : t [q] = [q]} הערה 2.5.2 תהי q תבנית ריבועית. אז 0} b q.g(q) = {b F : הוכחה. 0 bq b q = q אם ורק אם. b q = q דוגמא 2.5.3 לכל תבנית חד ממדית, 2 F,G( a ) = משום ש ( G( a t אם ורק אם a. ta = G(q) G(q q ) (משום שאם t q = q אז בוודאי q,q, הערה 2.5.4 לכל שתי תבניות (. t q q = q q תרגיל 2.5.5 לתבנית פיסטר מסדר ראשון, } F,G( a ) = { x 2 ay 2 : x, y כלומר גורמי הדמיון הם הערכים של a. דוגמא זו תקבל הכללות מרחיקות לכת בפרק 6. טענה 2.5.6 תהי [ [ F K = הרחבה ריבועית ספרבילית של F, ותהי q תבנית אנאיזוטרופית מעל. G(q) היפרבולית אז q K אם.F הוכחה. לפי משפט,2.4.3 אפשר לפרק q.q = לכן G(q) G( ) ; נעזרנו כאן בהערה 2.5.4. (בטענה 2.5.6 נשתמש כדי להוכיח את משפט 5.5.8, שהוא אחד המשפטים העיקריים על תבניות בשדות הניתנים לסידור). 24

פרק 3 האינווריאנטים הראשונים 3.1 זוגיות הממד פונקציית הממד אינה מוגדרת היטב על חוג ויט, משום שתבניות היפרבוליות שקולות לאפס. עם זאת, הממד כן מוגדר מודולו 2, וזה מאפשר להגדיר סדרה קצרה מדוייקת 0 I(F ) W (F ) Z/2Z 0, W (F )/I(F ) = Z/2Z. כלומר איזומורפיזם 3.2 הדטרמיננטה לאחר שחישבנו את המנה,W/I = Z/2Z הצעד הבא הוא לחשב את המנה.I/I 2 לשם כך עלינו למצוא הומומורפיזם מ (,I(F שהגרעין שלו הוא ) F) I. 2 נזכר שכל תבנית ריבועית מוצגת על ידי מטריצה A; ואז היא מוצגת גם על ידי כל מטריצה מהצורה P. AP t עובדה זו מציעה שנגדיר על תבנית את הדטרמיננטה שלה, det(q) = det(a)f 2 F /F 2, כאשר A היא מטריצה כלשהי המייצגת את q. מכיוון ש det(p AP t ) = det(a) det(p ) 2 det(a) בחבורת המחלקות הריבועיות 2 F/ F, הדטרמיננטה של תבנית מוגדרת היטב (מודולו ריבועים). יתרון נוסף נובע מהתכונות של מטריצות בלוקים: det(q q ) = det(q) det(q ). עם זאת, 1 = ( 1 det( 1,,det(H) = ולכן הדטרמיננטה של מחלקה בחוג ויט אינה מוגדרת היטב, אלא עד כדי ריבועים וסימן. תרגיל 3.2.1 אם q) (V, מרחב רגולרי מממד 2 עם 1 =,det(q) אז.V = H הדרכה. הבא את התבנית לצורה אלכסונית. תרגיל 3.2.2 אם c a, b, איזוטרופית, אז abc. a, b, c 25

פרק 3. האינווריאנטים הראשונים 3.3. הדיסקרימיננטה 3.3 הדיסקרימיננטה כפי שראינו הדטרמיננטה אינה מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט. הדיסקרימיננטה פותרת את הבעיה הזו. נגדיר את הדיסקרימיננטה של תבנית q מממד dim(q) n = לפי disc(q) = ( 1) n(n 1)/2 det(q); disc( a 1,..., a n ) = ( 1) n(n 1)/2 a 1 a n. ובאופן יותר מפורש, מתקיים disc(q H) = ( 1) (n+2)(n+1)/2 det(q H) = ( 1) n(n 1)/2+1 det(q) = disc(q), ולכן הדיסקרימיננטה מוגדרת היטב על מחלקות. תרגיל 3.3.1 גם הפונקציה disc(q) d (q) = (1 ) n(n+1)/2 מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט; ויחד עם,disc(q) אלו כל הפונקציות מהצורה det(q) q c dim q המוגדרות היטב על מחלקות. disc( a ) = a; נחשב כמה מקרים מיוחדים: disc( a ) = disc( 1, a ) = a; disc( a, b ) = disc( 1, a, b, ab ) = ( 1) 3 4 2 a 2 b 2 1. טענה Ker(d) 3.3.2.I 2 (F ) הוכחה. לפי מסקנה I 2 2.3.17, נוצר על ידי תבניות פיסטר מסדר 2 וראינו ש 1 = ( b.disc( a, a b ab a, b. למה 3.3.3 (כמעט אדיטיביות של תבניות פיסטר) הוכחה. מכיוון ש H, ab, ab = a b = 1, a, 1, b 1, a, 1, b, ab, ab = 1, a, b, ab 1, ab = a, b ab. 26

3.3. הדיסקרימיננטה פרק 3. האינווריאנטים הראשונים d : I/I 2 F /F 2 משפט 3.3.4 הדיסקרימיננטה משרה איזומורפיזם של חבורות אבליות. הוכחה. חישוב ישיר מראה שלכל שתי תבניות q q, מתקיים ]) disc([q])disc([q,disc([q] + [q ]) = ( 1) nn כאשר dim(q) n = ו ( dim(q.n = אם אחת התבניות מממד זוגי אז = ]) [q disc([q] + ).disc([q])disc([q] בפרט, 2 /F d : I(F ) F הוא הומומורפיזם של חבורות. לפי טענה,3.3.2 d הוא הומומורפיזם מוגדר היטב 2 /F,I/I 2 F שהוא על מפני ש = ) 2 disc( a +I 2.aF בכיוון ההפוך הפונקציה f 1 : F /F 2 I/I 2 השולחת f 1 : af 2 a + I 2 היא מוגדרת היטב; והיא הומומורפיזם משום שלפי הכמעט אדיטיביות (למה 3.3.3), a + b ab a, b ab (mod I 2 ). התוצאה נובעת מכך ששתי ההעתקות הופכות זו את זו. בעיה 3.3.5 הראה שלכל תבנית q מממד איזוגי, ) (F.q disc(q) I 2 3.3.1 תבניות בינאריות נעזר בדיסקרימיננטה כדי למיין את התבניות הבינאריות: טענה 3.3.6 את התבנית הבינארית q אפשר להציג בצורה b,a אם ורק אם a הוא ערך של התבנית, ו ( disc(q.ab = הוכחה. אם b q =,a אז (0,1)q a = הוא ערך של התבנית ו ab.disc(q) = בכיוון ההפוך נניח ש q נתונה, a הוא ערך שלה ו ( disc(q. ab = אז יש x F 2 עם ;disc(x) = a אפשר להשלים את {x} לבסיס אורתוגונלי, ולכתוב c q = a, עבור איזשהו F.c אבל אז ab = disc(q) = disc( a, c ) = ac ו ( 2 F.c b (mod מסקנה 3.3.7 את התבנית הבינארית q אפשר להציג בצורה,a אם ורק אם a הוא ערך של התבנית. מסקנה 3.3.8 (הצגות של תבנית בינארית) d,a b =,c אם ורק אם c הוא ערך של התבנית, כלומר מהצורה,ax 2 + by 2 ו ( 2 F.cd ab (mod תרגיל = 2 3.3.9,charF ;P(F ) = { u 2 + u : u F } זוהי תת חבורה חיבורית של +).(F, כל תבנית בינארית אפשר לייצג כמטריצה (לאו דווקא סימטרית) בדרכים שונות; הראה שהדטרמיננטה של המטריצה המייצגת מוגדרת היטב בחבורת המנה ).F/P(F תרגיל 3.3.10 הראה שבמאפיין 2, כל תבנית רגולרית דו ממדית שאינה סכום של תבניות חד ממדיות, אפשר להציג בצורה ax 2 + xy + by 2 (שאותה מסמנים b].([a, בעיה = 2 3.3.11.charF הראה ש [ d [a, b] = [c, אם ורק אם c הוא ערך של התבנית + 2 ax,xy + by 2 ו (( ab cd (mod P(F (זהו האינווראינט של,Arf המחליף את הדיסקרימיננטה במאפיין 2). 27

פרק 3. האינווריאנטים הראשונים 3.3. הדיסקרימיננטה 3.3.2 יוצרים ויחסים לחוג ויט כדי להגדיר הומומורפיזמים מחוג ויט, טוב שתהיה לנו הצגה שלו באמצעות יוצרים ויחסים. הדרך להצגה כזו עוברת בתכונה חשובה ושימושית שהוכיח ויט. = משפט 3.3.12 (משפט השרשרת של ויט) כל איזומורפיזם n a 1,..., a n b 1,..., b של תבניות ריבועיות אפשר להציג כשרשרת של איזומורפיזמים כך שבכל צעד משתנים רק שני רכיבים סמוכים; כלומר, כל צעד =. c 1,..., c i, c i+1,..., c n c 1,..., c i, c i+1,..., c n הוא מהצורה הוכחה. את האיזומורפיזם אפשר לתאר כמעבר ממטריצה מייצגת A למטריצה מייצגת B, = P AP t כאשר P הפיכה. כידוע, כל מטריצה הפיכה אפשר להציג כמכפלה של מטריצות אלמנטריות, וכל אחת מאלה פועלת רק על שני רכיבים. כדי לדאוג שהרכיבים יהיו סמוכים, די לבצע סדרה של החלפות, והרי a,a. b =,b בעיה 3.3.13 כתוב הוכחה שלמה של משפט השרשרת. נגדיר חבורה W הנוצרת על ידי היוצרים [a] (לכל F a) בכפוף ליחסים,[ac 2 ] = [a] *,[1] + [ 1] = 0 *.[a] + [b] = [a + b] + [ab(a + b)] * למה 3.3.14 אם d a, b = c, אז [d].[a] + [b] = [c] + הוכחה. לפי מסקנה,3.3.8 יש x, y, z F כך ש c = ax 2 + by 2 ו.d = abcz 2 לכן [a] + [b] = [ax 2 ] + [by 2 ] = [ax 2 + by 2 ] + [abx 2 y 2 (ax 2 + by 2 )] = [c] + [abc] = [c] + [d]. משפט 3.3.15 כחבורה אבלית, ) F) W נוצר על ידי התבניות a a), F ) בכפוף ליחסים הבאים (בלבד): ;c F לכל ac 2 = a.1 ; 1 + 1 = 0.2.a + b כך ש 0 a, b F לכל a + b = a + b + ab(a + b).3 הוכחה. עלינו להראות שההעתקה ) F) W W המוגדרת לפי a [a] היא איזומורפיזם. ההעתקה מוגדרת היטב משום ש H = 1 1, ו ( b. a, b = a + b, ab(a + היא על משום שלכל תבנית ב ( W (F יש הצגה אלכסונית (במאפיין 2 הגרסה הנכונה היא שלכל תבנית q 1 q, אלכסונית, וכמובן די בזה). נשאר להוכיח שההעתקה חד חד ערכית. נניח ש 0 ] i [a i ] [a. אפשר להוסיף מרכיב היפרבולי לאחד האגפים, ולהסיק ש n. a 1,..., a n = a 1,..., a לפי משפט השרשרת אפשר להניח שרק שני רכיבים סמוכים משתנים במעבר הזה, ולפי משפט הצמצום פירושו של דבר ש a. a i, a i+1 = a i, i+1 מזה נובע ] i+1 [a i ]+[a i+1 ] = [a i]+[a לפי למה 3.3.14. מסקנה 3.3.16 כחוג, ) F) W נוצר על ידי התבניות a בכפוף ליחסים שנמנו לעיל, בתוספת 28

האינווריאנטים הראשונים 3.4. אלגברות קליפורד פרק 3.. a b = ab.4 את מסקנה 3.3.16 הוכיח האריסון (Harrison) ב 1970. בעקבות זאת אפשר להגדיר לכל חוג קומוטטיבי את חוג ויט הריסון המופשט שלו, בתור החוג הנוצר על ידי יוצרים פורמליים a לכל a R,0 ובכפוף לאותם יחסים. דוגמא 3.3.17 ההומומורפיזם של הממד מודולו 2 מוגדר לפי 1 a. אפשר לבדוק שהוא מוגדר היטב גם דרך היחסים. מכיוון ש ( I(F היא תת חבורה מאינדקס סופי של ) F) W, תהליך רדמייסטר שרייר יודע לחשב מן ההצגה של ) F) W הצגה של ) :I(F טענה 3.3.18 כחבורה אבלית, ) I(F נוצר על ידי התבניות a a), F ) בכפוף ליחסים הבאים: ; ac 2 = a.1 ; 1 = 0.2.(a b) a + b = a + b + ab(a + b).3 תרגיל 3.3.19 לפי הכמעט אדיטיביות (למה 3.3.3), ) F) I 2 נוצר על ידי ההפרשים a + b. ab חבר עובדה זו לטענה 3.3.18 כדי לקבל הצגה של ) F).I(F I/( 2 הסק מכאן את טענה 3.3.4. לא ידועה הצגה של I 2 כחבורה אדיטיבית; אבל ראו בהמשך (סעיף 4.3) הצגה של I, 2 I/ 3 ומבוא להצגות של הגורמים הגבוהים 1+n I. n I/ 3.4 אלגברות קליפורד האינווריאנט האפס של תבנית הוא מספר, זוגיות הממד. האינווריאנט הראשון, הדיסקרימיננטה, הוא סקלר בשדה, מודולו ריבועים. האינווריאנט שנבנה בסעיף הזה הוא אלגברה פשוטה מרכזית, המוגדרת עבור מחלקות ב I. 2 זה אינווריאנט עדין יותר (הדיסקרימיננטה אדישה למה שקורה בתוך I), 2 והוא מספק אובייקט קונקרטי - אלגברה - שבעזרתו אפשר להוכיח ששתי תבניות אינן איזומורפיות. נקדים לבניה כמה סעיפי רקע. 3.4.1 אלגברות פשוטות מרכזיות נסקור בקצרה ובלי הוכחות את יסודות התאוריה של אלגברות פשוטות מרכזיות מעל שדה. לפי משפט ודרברן, כל אלגברה פשוטה A מממד סופי מעל המרכז שלה, איזומורפית לאלגברת מטריצות (D) M r כאשר D חוג עם חילוק. לפי התכונות הידועות של מטריצות, לשתי האלגברות יש אותו מר כז Z(D).Z(A) = נתבונן באלגברות הפשוטות שהמרכז שלהן שווה לשדה נתון F. אלגברה שהמרכז שלה שווה ל F נקראת אלגברה מרכזית מעל F (ואם השדה ברור מההקשר, סתם אלגברה מרכזית). תהי B A תת אלגברה. המרכ ז של B הוא תת האלגברה C A (B) = {a A : ( b B) ab = ba}. ברור שלכל אלגברה A ולכל B A מתקיים (B)).B C A (C A מרכזית המצב הדוק יותר: מתברר שאם A פשוטה משפט 3.4.1 (משפט המרכז הכפול) תהי A אלגברה פשוטה מרכזית. לכל תת אלגברה B A מתקיים.C A (C A (B)) = B 29

3.4. אלגברות קליפורד פרק 3. האינווריאנטים הראשונים 3.4.2 חבורת בראוור הגדרה 3.4.2 אומרים ששתי אלגברות מרכזיות,A B הן שקולות במובן של בראוור, ומסמנים A, B אם שתיהן אלגברות מטריצות מעל אותו חוג עם חילוק. תכונה זו שקולה לכך שקיימים,r s כך ש ( B ) M. r (A) = M s את מחלקת השקילות של A מסמנים ב [ A ]. תרגיל 3.4.3 אם A B ו ( dim(b dim(a) = אז.A = B טענה 3.4.4 תהיינה,A B אלגברות פשוטות מרכזיות, אז גם A F B היא אלגברה פשוטה מרכזית. הגדרה 3.4.5 המכפלה של מחלקות (ראה ההגדרה הקודמת) מוגדרת לפי [B [A]. [B] = A] F טענה.A A op = End F (A) = M dim(a) F F 3.4.6 מסקנה 3.4.7 אוסף המחלקות של אלגברות פשוטות מרכזיות מעל F, עם פעולת הכפל של מחלקות לפי מכפלת טנזורית של נציגים, מהווה חבורה (הנקראת חבורת בראוור של F; מסמנים אותה ב (.(Br(F המשפט הבא מאפשר לזהות מכפלות טנזוריות: טענה 3.4.8 תהי A אלגברה פשוטה מרכזית. לכל תת אלגברה B A שהיא בעצמה פשוטה ומרכזית, גם (B) B = C A פשוטה מרכזית, ו B.A = B F העתקת הצמצום טענה 3.4.9 אם A אלגברה פשוטה מרכזית מעל F, ו K/F הרחבת שדות, אז K F A היא אלגברה פשוטה מרכזית מעל,K והממדים שווים: ] [A:F.[K F A:K] = טענה 3.4.10 מעל שדה סגור אלגברית אין אלגברת חילוק מממד סופי פרט לשדה עצמו. מסקנה 3.4.11 הממד של אלגברה פשוטה מרכזית A מעל הרמכז שלה הוא תמיד ריבוע של מספר שלם. שורש הממד נקרא הדרגה של האלגברה, ומסמנים אותו.deg(A) טענה B) 3.4.12,K F (A F B) = (K F A) K (K F ולכן A] [A] [K F מגדיר הומומורפיזם של חבורות res K/F : Br(F ) Br(K). הסדר של ) Br(F [A] נקרא האקספוננט של A, ומסמנים אותו ב ( exp(a. טענה 3.4.13 לכל אלגברה פשוטה מרכזית.exp(A) deg(a) A, בפרט, הסדר תמיד סופי. 3.4.3 אינוולוציות תהי R אלגברה מעל שדה F. אינוולוציה של R היא אנטי אוטומורפיזם מסדר 2, כלומר פונקציה σ : R R המקיימת σ(t + t ) = σ(t) + σ(t ) σ(tt ) = σ(t )σ(t) σ(σ(t)) = t אינוולוציה היא מסוג ראשון אם הצמצום של σ למרכז F הוא הזהות, ומסוג שני אם הצמצום הוא אוטומורפיזם לא טריוויאלי. משפט 3.4.14 לאלגברה פשוטה מרכזית A יש אינוולוציה מסוג ראשון אם ורק אם 2.exp(A) הגדרה 3.4.15 אלגברת קווטרניונים מעל F היא אלגברה פשוטה מרכזית מדרגה 2 (כלומר מממד 4). תרגיל 3.4.16 כל אלגברת קווטרניונים פרט ל ( M 2 F) היא אלגברת חילוק. 30

האינווריאנטים הראשונים 3.4. אלגברות קליפורד פרק 3. 3.4.4 קווטרניונים הגדרה 3.4.17 יהי F שדה ממאפיין שונה מ 2. יהיו F.a, b האלגברה (a, b) = (a, b) 2,F היא האלגברה עם יוצרים,x y ויחסים x 2 = a, y 2 = b, yx = xy; זו אלגברה מממד 4, עם בסיס,1.,x,y xy טענה 3.4.18 יהי F שדה ממאפיין שונה מ 2. כל אלגברת קווטרניונים אפשר להציג בצורה (b,a) (בדרכים רבות), וכל אלגברה מהצורה הזו היא אלגברת קווטרניונים. תרגיל 3.4.19 הראה ש M 2 (F ) = (1, b) 2,F לכל F.b הגדרה 3.4.20 על אלגברת הקווטרניונים b) (a, מוגדרת האינוולוציה הסימפלקטית לפי y = y,x = x (ואז.((xy) = xy תרגיל 3.4.21 האינוולוציה הסימפלקטית היא האינוולוציה היחידה של (b Q =,a) שממד מרחב האברים הסימטריים תחתיה הוא 1. מצא אינוולוציה של Q שאינה סימפלקטית, והראה שממד מרחב האברים הסימטריים עבורה הוא 3. האינוולוציה הסימפלקטית מגדירה את הנורמה N : Q F לפי ww.n(w) = תרגיל = 3.4.22 xy) N(t 0 + t 1 x + t 2 y + t 3 xy) = (t 0 + t 1 x + t 2 y + t 3 xy)(t 0 t 1 x t 2 y t 3. a, איזומורפית ל b (a, b) כלומר תבנית הנורמה של,t 2 0 at2 1 bt2 2 + abt2 3 תרגיל 3.4.23 העקבה tr : Q F מוגדרת לפי +w.tr(w) = w הראה שלכל w Q מתקיימת הזהות = 0 N(w) w. 2 tr(w)w + חשב את תבנית העקבה (הריבועית) של Q, המוגדרת לפי ) 2.x tr(x השווה לתרגיל.2.4.6 תרגיל 3.4.24 נניח ש σ 1, σ 2 הן אינוולוציות של האלגברות הפשוטות המרכזיות.A 1, A 2 הראה ש σ 1 σ 2 היא אינוולוציה של A, 1 A 2 כאשר המכפלה הטנזורית של אינוולוציות מוגדרת לפי.(σ 1 σ 2 )(a 1 a 2 ) = σ 1 (a 1 ) σ 2 (a 2 ) טענה 3.4.25 (חוקי המשחק בקווטרניונים) לכל F,a, b, a, b ;(a, b) (a, b ) (a, bb ).1 ;(a, b) (a, b) (aa, b).2.3 אם = 1 b a + אז.(a, b) F.(a, b) = (b, a).4.(a, a) F.5 הוכחה. קבוצת יוצרים סטנדרטית של ) 2 (a 1, b 1 ) (a 2, b היא רביעיה x 1, y 1, x 2, y 2 כך ש i,y 2 i = b i,x 2 i = a.x 2, מתחלפים עם y 2 x 1, ו y 1,y i x i = x i y i.1 נבחר קבוצת יוצרים סטנדרטית y x, y, x, של אגף שמאל. אז yy xx 1, y, x, היא קבוצת יוצרים סטנדרטית של ) bb (1, b) (a, הדומה ל ( bb (a, לפי תרגיל.3.4.19 31 2. תרגיל.